Прочность (напряженно-деформированное состояние) гидротехнических сооружений

При проверке устойчивости на сдвиг и опрокидывание использовалась модель абсолютно твердого тела, то есть принималось, что сооружение не может разрушиться, от него не может «отколоться» кусок, и оно может только сдвинуться или повернуться целиком. В действительности в реальном сооружении могут возникнуть трещины, может произойти смятие, отрыв материала, его срез и т.п., то есть нарушится его сплошность и прочность. Проверка прочности (оценка напряженно-деформированного состояния) является неотъемлемой частью проектного обоснования ГТС.

При проверке прочности в критериальном неравенстве под величиной F понимаются обычно напряжения в сооружении, под R понимается несущая способность материала - расчетное сопротивление материала (допускаемое в материале напряжение).

Для изучения напряженно-деформированного состояния гидротехнических сооружений привлекается целый ряд разделов механики, в первую очередь, механики деформируемых сплошных сред (теория упругости, теория пластичности, теория хрупкого разрушения и др.), которые не изучаются в курсах технической механики технических вузов. Изложить все необходимые разделы в полном объеме не представляется возможным. Более того, в этом нет настоятельной необходимости, так как в настоящее время конкретные задачи решаются с помошью программных комплексов, составленных специалистами по вычислительной математике. Инженер является лишь пользователем этих программных продуктов. От него требуется не столько владение методами решения задач, сколько понимание их постановки, гипотез, заложенных в различных моделях, умение видеть достоинства и недостатки различных расчетных моделей, делать сознательный выбор расчетной модели, умение интерпретировать результаты полученных решений.

Рассмотрим на простых примерах основные гипотезы и определения механики деформируемых сред, понимание которых необходимо при проектировании ГТС, не привлекая, по возможности, сложного математического аппарата.

В механике сплошных сред принимается гипотеза сплошности: считается, что материал распределен по объему тела равномерно без пустот (нет трещин, пор и т.п.), молекулярное строение вещества игнорируется. Математически сплошность означает, что перемещения в среде - непрерывные функции. Однако, в отличие от модели абсолютно твердого тела, принятой в п.7.3.3 для проверки устойчивости на сдвиг, при оценке прочности не обойтись (см. ниже) без гипотезы о том, что сплошное тело способно менять объем и форму (деформироваться) под действием приложенных к нему сил. Ниже понятие деформации будет конкретизировано.

Одним из основных понятий механики сплошных деформируемых сред является напряжение. В п.7.3.2 были рассмотрены внешние силы, действующие на сооружение — силы, которые передаются сооружению извне. Примером внешней силы, действующей на все сооружения, является сила тяжести (сила притяжения к земле). Наряду с внешними силами в самом сооружении (теле) действуют внутренние силы - это силы притяжения частиц тела друг к другу. Внутренние силы самоуравновешены и не могут изменить количества движения тела. Каждая внутренняя сила (сила притяжения), действующая на одну (первую) частицу тела со стороны другой (второй), в соответствии с третьим закона Ньютона, уравновешивается равной ей по модулю и имеющей противоположное направление силой. действующей со стороны второй частицы на первую. Если бы этого не было. то нашлась бы частица, которая не находилась бы в равновесии и пришла в движение относительно тела. Однако этого не происходит. В механике твердых деформируемых тел интенсивность внутренних сил взаимодействия называют напряжениями. Ниже понятие напряжения будет конкретизировано.

Интенсивность сил (величина силы, отнесенная к единице площади или объема) как внешних, так и внутренних, величина векторная, для которой существенна не только ее численная величина (модуль), но и направление действия.

Рассмотрим квадратную пластину единичной толщины со стороной а, растягиваемую в двух направлениях внешними равномерно распределенными поверхностными нагрузками. Очевидно, что под действием приложенных нагрузок пластина в целом находится в равновесии. В этом легко убедиться, заменив распределенные нагрузки их равнодействующими и записав три уравнения равновесия: сумма проекций на оси Ох, Оу всех внешних сил, действующих на пластину, равна нулю, и сумма моментов относительно точки О всех внешних сил, действующих на пластину, равна нулю.

Если пластина целиком находится в равновесии, то в равновесии должна находится и любая ее часть. Мысленно разрежем пластину вертикальным сечением и рассмотрим левую часть пластины, отбросив правую часть. Чтобы рассматриваемая левая часть пластины оставалась в равновесии, по линии отреза (в сечении 1-1) необходимо приложить внутреннюю силу (напряжение) интенсивности Ох, величина которой (модуль) в данном случае должна быть равной по модулю р. Направление а обратно направлению р.

Если мысленно разрезать пластину горизонтальным сечением 2-2, то из уравнений равновесия следует, что по линии разреза (сеч. 2-2) должна действовать внутренняя сила с интенсивностью. По величине (по модулю) внутренняя сила О равна р и имеет обратное направление.

Введенные выше ооозначения и направления внешних и внутренних сил. действующих на границе и внутри квадратной пластины, являются стандартными для механики деформируемых сред. Сформулируем эти обозначения в общем виде. Векторы напряжений, действующих по площадкам с внешней нормалью п, обозначаются Gn. Компоненту (проекцию) вектора Gn на нормаль п к площадке называют нормальным напряжением по площадке n и обозначают Оnn. Компоненту (проекцию) вектора на касательную к площадке t называют касательным напряжением по площадке с внешней нормалью n и обозначают Т. В частном случае, когда внешняя нормаль к площадке совпадает с направлением оси Ох, то нормальные и касательные напряжения обозначаются соответственно О и Тх. Таким образом, вектор напряжений пишется полужирным и снабжается одним индексом - наименованием нормали. Компоненты (проекции) вектора напряжений - скаляры, пишутся обычным шрифтом. Проекции вектора напряжений снабжаются двумя индексами, первый из которых - наименование нормали к площадке, второй - наименование оси, на которую спроектирован вектор. Если направления векторов (проекций) совпадают с направлением нормали (оси проектирования), то векторы (проекции) положительные, если противоположны, то отрицательные.

Как видно из предыдущего, величины и направления внутренних сил (напряжений), которые удерживают любую часть пластины в равновесии, переменные и зависят от направления сделанного разреза (сечения). Однако, если для плоской пластины известны величины напряжений по двум площадкам (направлениям), то, как следует из уравнений равновесия, можно найти напряжения, действующие по любым другим площадкам.

В силу свойства парности касательных напряжении - симметрии тензора напряжений - число независимых скаляров (проекций), задающих тензор, равно шести.

Рассмотрим некоторые особенности уравнений равновесия малого элемента (параллелепипеда или прямоугольника), выделенного из сплошной среды. Важнейшей особенностью уравнений является то, что в них число неизвестных больше числа уравнений. Так в системе два уравнения и три неизвестных (компоненты напряжений). В системе три уравнения и шесть компонент напряжений. Такие задачи, где одних уравнений статики (равновесия) недостаточно для нахождения всех сил (или их интенсивностей), называют статически неопределимыми. Таким образом, в общем случае равновесие малого объема под действием внешних и внутренних сил (напряжений) - задача статически неопределимая.

Для нахождения всех шести независимых скаляров (компонент тензора напряжений) мало уравнений статики и необходимо привлечение дополнительной информации. Такой информацией является деформируемость сплошной среды, на которой строится теория деформации. Теория малых деформаций базируется на простых геометрических соображениях и строится на гипотезе линейного (аффинного) преобразования среды.

Под действием внешних нагрузок точки тела перемещаются. Перемещения точки и - вектор, длина (модуль) которого равна расстоянию между старым и новым положениями точки, и направление - от старого положения к новому. Обозначим компоненты (проекции) вектора перемещений и какой-либо точки через n, v, w. В теории малых деформаций принято, что малая пластина (малый куб) после приложения к нему нагрузки меняет свою форму и размеры (деформируется) так. что плоские грани малой пластины (малого куба) остаются плоскими. Малая пластина (малый куб) в результате деформации переходит в малый параллелограмм (наклонную призму).

Закон Гука связывает только нормальные напряжения с деформациями укорочения (удлиннения), так как записывался, исходя из эксперимента, где образец только менял объем (удлиннялся или укорачивался), но не перекашивался (деформации сдвига были нулевыми).

Деформации сдвига вызываются касательными напряжениями, приложенными к образцу. Однако можно показать, что для изотропного материала (свойства которого одинаковы по любому направлению) связь между касательными напряжениями X и деформациями сдвига полностью определяется через те же две константы материала Е, V.

Основная задача теории упругости формулируется следующим образом: зная внешние нагрузки и воздействия на конструкцию (поверхностные, объемные, температурные), а также условия закрепления конструкции найти удовлетворяющие системе уравнений теории упругости перемещения. деформации и напряжения в любой внутренней точке. Как видно из уравнений. в них фигурируют только объемные нагрузки. Условия закрепления и внешние поверхностные нагрузки входят в граничные (краевые) условия разрешающих дифференциальных уравнений и будут рассмотрены на примерах конкретных задач расчета гидротехнических сооружений.

Систему разрешающих уравнений линейной теории упругости можно записать более компактно в виде системы трех дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка относительно перемещений и, v. w. Для этого надо в уравнениях равновесия перейти от напряжений к деформациям с помощью закона Гука, а затем выразить деформации через перемещения, используя уравнения Каши .

До 60-х годов прошлого века существовал значительный разрыв между постановкой задач механики твердых деформируемых сред и решением практических задач. Постановка задач значительно опережала методы их решения. Аналитические решения удавалось построить с привлечением сложного математического аппарата для относительно простых задач - простых областей (полупространство, полуплоскость, бесконечный клин, тонкостенные конструкции типа стержней, пластин, оболочек, см. ниже), мало напоминавших по форме реальные конструкции, простых свойств материала (упругость. линейная деформируемость, однородность, изотропность). Ситуация существенно изменилась, начиная с 60-х годов, когда основными стали численные решения задач теории упругости с применением ЭВМ. Эти методы реализованы в виде промышленных программных комплексов и позволяют построить решение для конструкций практически любой формы при достаточно сложных свойствах материалов сооружения и его основания.

В последнее время наиболее распространенным численным методом решения задач теории упругости является метод конечных элементов. Этот метод базируется на иной формулировке задачи - вариационной - отыскании минимума полной потенциальной энергии системы сооружение - основание. Метод конечных элементов (МКЭ) позволяет несколько обобщить сформулированную выше постановку задач линейной теории упругости без усложнения ее решения. Назовем наиболее существенные при расчете ГТС обобщения, практически не усложняющие решение задачи МКЭ.

Рассмотрим гипотезы, на которых строилась записанная выше система уравнений линейной теории упругости, оценим их применимость к гидротехническим сооружениям, а также обозначим те обобщения задачи линейной теории упругости, которых требует практика проектирования гидротехнических сооружений (нелинейные и неупругие постановки задач механики сплошных деформируемых сред, учет несплошностей в виде трещин и швов).

Уравнения равновесия являются формой записи фундаментального второго закона механики Ньютона для малого элемента среды и ни в каких обобщениях для выполнения статических расчетов ГТС не нуждаются. Уравнения Коши строились на гипотезе о малости перемещений (аффинном преобразовании среды). Для гидротехнических сооружений, в силу их массивности, гипотеза о малости перемещений не нуждается в пересмотре и обобщении. Обобщения постановки задачи относятся, в первую очередь, к уравнениям состояния, «отвечающим» за описание свойств материала.

Выше уравнения состояния были записаны в форме закона Гука. Записанные уравнения строились на следующих гипотезах материала:

- материал однороден, его свойства (модуль Юнга, коэффициент Пуассона) одинаковый для всей конструкции;
- материал изотропен, то есть его свойства одинаковы во всех направлениях;
- материал работает линейно упруго, то есть между деформациями и напряжениями имеется прямая пропорциональность (линейная связь); упругость означает, что при одних и тех же нагрузках перемещения, деформации и напряжения одни и те же. вне зависимости от истории загружения; упругость - свойство возвращать первоначальную форму и объем при снятии нагрузки; если принять, что в ненагруженном упругом теле перемещения и напряжения нулевые, затем это упругое тело сначала нагрузить, а потом снять нагрузку, то его перемещения и напряжения после снятия нагрузки снова будут нулевыми.

Отказ от гипотезы однородности материала не усложняет решения МКЭ и существенно расширяет круг корректно решаемых задач. Для гидротехнических сооружений и их оснований характерна неоднородность свойств материала: модули упругости основания и сооружения, а также различных зон сооружения могут значительно различаться. Рассмотрение системы сооружение - основание как кусочно-однородной среды будет означать, что в законе Гука для различных участков сооружения и основания будут фигурировать свои значения Е и V.

Материал ГТС и их оснований зачастую может обладать анизотропией (различной жесткостью по разным направлениям). Учет анизотропии приводит к несколько иной записи закона Гука, в нем свойства материала в точке будут характеризоваться не двумя константами Е и V, а гораздо большим (в зависимости от типа анизотропии) числом параметров - модулями Юнга и модулями сдвига по разным направлениям. Такое изменение закона Гука также не усложняет решения задачи.

Выше отмечалось, что прямая пропорциональность между напряжениями и деформациями (закон Гука) справедлива далеко не для всех материалов. Например, для грунтовых материалов характерна нелинейная связь между деформациями и напряжениями даже при относительно низких уровнях напряжений. Переход от линейной к нелинейной формулировке уравнении состояния при сохранении свойства упругости также не приводит к усложнению решения.

Все предыдущие обобщения относились к классу упругих задач, которые имеют единственное решение. К нелинейно упругим задачам, имеющим важное значение для расчета гидротехнических сооружений, относятся так называемые задачи с идеальными односторонними связями (задача Синьорини). Многие гидротехнические сооружения, например, бетонные плотины, разрезаны неомоноличенными швами неизменного размера (межсекционными, межстолбчатыми, швами-надрезами). Если предположить, что по швам передаются только сжимающие напряжения и не передаются касательные (идеальная связь, без трения) и растягивающие (односторонняя связь) напряжения, то расчет сооружения должен трактоваться как расчет системы конструкций с идеальными односторонними связями. Эта задача несколько сложнее, чем описанные выше упругие задачи, и ее решение реализовано не во всех распространенных программных комплексах.

Численные методы позволили перейти к практическому расчету гидротехнических сооружений в неупругой постановке. Неупругие задачи не имеют единственного решения, так как различные пути нагружения в этой постановке приводят к различным необратимым явлениям. Неупруго работающие конструкции «помнят» историю своего загружения. Каждому сценарию (последовательности) нагружения и разгрузки будет соответствовать свое решение.

Следует различать неупругость поведения материала (физическая неупругость) и неупругость поведения конструкции (конструктивная неупругость).

Физическая неупругость обусловлена физико-механическими свойствами материлов вне зависимости от вида конструкции. По характеру разрушения материалы делят на хрупкие и пластичные. К пластичным материалам относят многие металлы (железо, сталь), глину. К хрупким - бетон, скальные породы, чугун.

Большинство пластичных материалов до определенного предела (предела пропорциональности) работают линейно упруго. Например, если растягивать (сжимать) стальной образец, то вначале, при относительно небольших напряжениях (до 100-200 МПа), образец будет вести себя линейно упруго (например, при удвоении напряжений деформации удвоятся), и при снятии нагрузки образец (конструкция) вернет свой прежний объем и форму. При дальнейшем росте напряжений связь между напряжениями и деформациями становится нелинейной, но материал при разгрузке восстанавливает свою форму и объем, то есть продолжает работать упруго. По достижении определенного для данного материала (стали) предела (предела текучести) образец начинает «течь» (деформации нарастают при ничтожном повышении нагрузок). Если образец разгрузить в этом случае, то он не восстановит прежней формы и объема, в нем будут остаточные деформации и напряжения, то есть материал будет работать не упруго.

Хрупкие материалы, как правило, хорошо работают на сжатие и плохо работают на растяжение. Дo определенного предела (уровня напряжений или деформаций) большинство хрупких материалов работает, как линейно деформируемая изотропная среда. По достижении деформациями (напряжениями) некоторой предельной величины в материале начинается процесс трещинообразования. Трещины возникают в зонах с максимальными растягивающими напряжениями (деформациями) и ориентированы примерно перпендикулярно направлению действия максимальных растягивающих напряжений. В начале процесса трещины малы по длине и ширине раскрытия. На этой стадии жесткость материала в направлении, перпендикулярном трещинам, понижается (он приобретает ортотропию), и может моделироваться как упругий нелинейно деформируемый анизотропный материал. На третьей стадии в хрупком материале возникают крупные трещины, и его поведение становится неупругим. Все железобетонные конструкции рассчитываются с учетом трех стадий их работы.

Конструктивная нехпругость может быть следствием особенности конструкции сооружения. Например, в бетонной плотине имеются швы-надрезы. которые имеют различную схему раскрытия при разных нагрузках. Другой пример - плиты водобоя, заанкеренные в скальное основание, под действием пульсирующего потока воды. При действии нагрузки вниз - плиты прижимаются к скале, и их основанием является скала, при действии нагрузки вверх - плиту отрывает от скалы, и основанием, удерживающим плиту, будут анкера.

Неупругое поведение материала и конструкции типично для высоких бетонных плотин на скальных основаниях. При росте нагрузки (подъеме УВБ) вблизи контакта верховой грани плотины с основанием возникают горизонтальные трещины. При этом, после возникновения трещин материал конструкции может работать упруго. Однако конструкция в целом при разгрузке поведет себя не упруго: не вернется в исходное положение (так как нагружалась плотина без трещины, а разгружалась плотина с трещиной).

Неупругие задачи гораздо более трудоемки, так как требуют моделирования последовательности приложения нагрузки. Алгоритмы решения неупругих задач представляют собой последовательность решения упругих задач: на каждом шаге решения дается небольшое приращение нагрузки, такое, что в пределах этого приращения нагрузки свойства материала и конструкции (модули Юнга, глубина трещин и т.п.) можно считать неизменными. После каждого шага по нагрузке свойства материала и конструкции корректируются с учетом изменившихся после шага по нагрузке напряжений.

Процедура расчета конструкций на прочность с помощью конечно-элементных программных комплексов заключается в следующем. Конструкция разбивается на отдельные элементы. Программный комплекс предоставляет в распоряжение пользователя набор конечных элементов различной формы, позволяющих набрать из них как из кубиков конструкцию любой формы.

Конечные элементы обладают определенными физическими свойствами. Кроме трехмерных элементов, применяемых для описания массивов, имеются двумерные и одномерные элементы, позволяющие моделировать трещины и швы, тонкостенные элементы (стержни, пластины, оболочки, см. ниже). Ансамбль элементов загружается внешними нагрузками, и ЭВМ выполняет расчет, в результате которого определяются перемещения в узлах сетки и напряжения в элементах. Основные задачи инженера - разумно выбрать типы и число элементов, а также оценить достоверность полученного решения.

До внедрения в проектную практику конечно-элементных программных комплексов расчет гидротехнических сооружений, как правило, осуществлялся с использованием расчетных моделей более простых, чем сформулированная выше трехмерная задача линейной теории упругости. Эти схемы можно построить, введя в трехмерную задачу линейной теории упругости дополнительные, упрощающие решение, гипотезы. Эти гипотезы можно назвать гипотезами формы конструкции. Гипотезы формы учитывают особенности соотношения размеров конструкции и дают возможность понизить размерность задачи - перейти от трехмерных (пространственных) задач к двумерным (плоским) или одномерным.

При расчете гидротехнических сооружений используются следующие упрощенные расчетные модели:

- плоская задача теории упругости (плоская деформация и плоское напряженное состояние); - осесимметричная задача теории упругости;
- пластины и оболочки;
- стержневые системы.

Несмотря на внедрение в практику проектирования мощных конечно-элементных комплексов, упрощенные расчетные модели не утратили своего значения. Они позволяют инженеру выполнить прикидочные расчеты, "почувствовать игру сил в сооружении" и выбрать рационально более точную расчетную модель.

Рассмотрим особенности формы и загружения плотины:

- нагрузки, действующие на плотину, меняются только вдоль осей Ох, Оу и не меняются вдоль оси Oz;
- фрагмент основания представляет собой длинное цилиндрическое тело с образующей, параллельной оси Oz;
- секции плотины представляют собой набор пластин, не взаимодействующих друг с другом (так как вдоль оси Oz не действуют нагрузки).

Особенности формы и загружения системы плотина - основание позволяют принять следующие модели:
- для основания - модель плоской деформации;
- для плотины - модель плоского напряженного состояния.

Плоская деформация в идеале реализуется для бесконечно длинных (в направлении Oz) цилиндрических тел, в таких телах все точки, лежащие на прямой, параллельной Oz, перемещаются одинаково.

Двумерная задача существенно проще трехмерной. При использовании для статического расчета системы плотина - основание МКЭ в двумерной постановке расчетная область представляет собой вертикальное сечение, разбитое сеткой треугольных элементов.

Введение гипотез в уравнения плоской задачи теории упругости приводит к уравненияч классической теории стержней, изучаемой в курсах сопротивления материалов. В сопротивлении материалов уравнения для стержней строятся не путем упрощения уравнений трехмерной задачи теории упругости, а иными, более простыми способами. Выбранный здесь путь имеет цечь показать, как связаны между собой различные поставновки задач механики твердых деформируемых тел.

Примечание. Кроме простейших моделей сопротивления материалов и сложных моделей трехмерной теории упругости при расчете гидротехнических сооружений используются занимающие между ними промежуточное положение двумерные модели теории пластин и оболочек. Пластинами и оболочками называют тела, у которых один размер (толщина) существенно меньше двух других. Это позволяет при их расчете ввести в уравнения трехмерной задачи теории упругости гипотезу прямых нормалей (аналог гипотезы плоских сечений для стержней). Тем самым трехмерная задача упрощается и сводится к двумерной. Как оболочки рассчитываются перекрытия многоарочных плотин, тонкие арочные плотины, как пластины рассматриваются контрфорсы и плоские перекрытия контрфорсных плотин, плиты крепления водобойных колодцев и многие другие конструкции.

После выполнения статических расчетов и определения перемещений, деформаций и напряжений производится проверка критериальных соотношений (7.3). Если соотношения (7.3) не выполняются, то размеры сооружения корректируются так, чтобы удовлетворить условиям прочности с требуемым запасом.

В.И. Брызгалов, Л.А. Гордон, "Гидроэлектростанции", Красноярск, 2002г.