МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ЗАДАЧ

Все фильтрационные задачи по характеру граничных условий могут быть классифицированы как напорные и безнапорные. Если на верхней границе потока давление выше атмосферного, то фильтрация напорная; если на верхней границе потока давление атмосферное, то фильтрация безнапорная. В задачах напорной фильтрации можно четко определить граничные условия; в задачах безнапорной фильтрации такой возможности нет, так как верхняя граница заранее не определена. Верхняя граница поверхность депрессии (снижение уровня воды). Ее положение определяется в результате решения, поэтому и нет возможности предварительно задать граничные условия.

Для решения фильтрационных задач можно использовать следующие методы:

Гидромеханический метод решения фильтрационной задачи решение основного дифференциального уравнения движения потока (3.18) при заданных граничных условиях. В результате решения этим методом получают гидродинамическую сетку, т. е. семейство эквипотенциалей (линий равного напора) и линий тока (траекторий движения частичек жидкости). Гидромеханический метод построен на математическом методе конформных отображений.

Из уравнений (3.19) и (3.22) видно, что в уравнение Лапласа не входит коэффициент фильтрации. Из этого следует, что в однородной области положение эквипотенциалей и линий тока не зависит от коэффициента фильтрации. Конечно, скорость в любой точке и фильтрационный расход будут пропорциональны коэффициенту фильтрации.

В случае разнородных грунтов основания гидротехнического сооружения или тела грунтовой плотины следует ввести понятия водоупора и дренажа, которые позволяют существенно упростить решаемую задачу. Пусть грунт основания или отдельного элемента грунтовой плотины имеет коэффициент фильтрации, а грунт, подстилающий рассматриваемый или расположенный выше рассматриваемого. Второй из грунтов (или искусственных материалов) можно считать водоупором (для большинства задач достаточно, если это отношение равно 2025). В противном случае грунт основания нельзя считать водоупором и следует рассматривать неоднородную область.

Принять грунт за водоупор в решении задачи означает, что расход фильтрации через водоупор будет ничтожно мал по сравнению с расходом через рассматриваемую часть основания. Если соотношение проницаемости грунтов (на практике часто достаточно), то грунт с можно считать дренажом по отношению к грунту, т. е. потери напора в этом грунте малы по сравнению с потерями напора в основной области фильтрации. Понятие дренаж нельзя путать с дренажным сооружением, хотя на практике часто дренажные сооружения называют дренажом.

На рис. 3.4 показаны сооружения и соответствующие им гидродинамические сетки фильтрации. Бетонная плотина стоит на двухслойном основании,, нижний слой водоупор (см. рис. 3.4, а). Водоупором являются понур, бетон водосливной плотины, бетон водобойной плиты и рисбермы. Под плотиной, водобойной плитой и рисбермой имеется дренажное сооружение или просто дренаж. В данной задаче висячая шпунтовая стенка может считаться водонепроницаемой . Расчетные схемы различных фильтрационных задач с бетонной плотиной на водопроницаемом основании даны на рис. 3.5.

Как отмечалось выше, в случае анизотропных фильтрационных свойств основания ось х или у меняется на ось t согласно правилу приведения области с фиктивным грунтом, обладающим изотропными свойствами. Для решения задачи нужно ограничить область фильтрации и на входе, и на выходе, и по глубине. Опыт решения показал, что по глубине следует ввести понятия активной глубины фильтрации Tmi расчетной глубины 7 и действительной глубины Тдсйст» (понятия Тт и Грас, ввел Р.Р.Чугаев).

Расчетная глубина фильтрации может быть равна активной глубине Гш фильтрации, если действительная глубина фильтрации. В противном случае за расчетную глубину следует принимать Т. Значения 7 зависят от конструкции подземного контура (табл. 3.3).

2. Если основной целью решения задачи является определение противодавленм если выходных в дренаж или НБ градиентов напора. В случае необходимости уточненного определения фильтрационного расхода

Основные гидромеханические решения движения фунтовых вод под гидротехническими сооружениями получил Н.Н. Павловский [139]. По гидродинамической сетке можно найти характеристики фильтрационного потока в любой точке области фильтрации.

Линии равных потенциалов на рис. 3.6 (эквипотенциали) проведены. Эпюра противодавления строится по контуру флютбета плотины, Ординаты напоров, откладываются в точках пересечения контура флютбета и эквипотенциалей. Фильтрационное давление легко получить из напора.

Градиенты напора определяют по разности напоров АН в двух соседних точках и расстоянию А между этими точками. Например, в точке 3 осреднен ный градиент напора равен. При определении выходных градиентов в НБ или дренаж для повышения точности решения в зоне выхода следует сгустить сетку (пунктирная сетка на рис. 3.6), тогда в точке 4 будем иметь за счет сгущения сетки. Скорость фильтрации. Фильтрационный расход на 1 м ширины может быть определен. Результаты гидромеханических решений даны в гл. 7.

Гидромеханические решения в случае безнапорной фильтрации достаточно сложны. Решения получены для очень узкого круга задач: однородная грунтовая плотина на водонепроницаемом основании. П.Я. Полубаринова-Кочина [144] приводит решение о том, что кривая депрессии след свободной поверхности движения воды на плоскости поперечного сечения, должна иметь перегиб. Давление на этой поверхности равно атмосферному, следовательно фильтрация безнапорная.

В качестве примера она рассмотрела однородную плотину на нескальном основании (рис. 3.7). Дренаж занимает положение EF. Глубина воды перед верховым откосом мала в сравнении с длиной L плотины до дренажа. В этом случае перпендикуляр CN к верховому откосу CD в точке С пересекает основание плотины DE. Тогда кривая свободной поверхности СВА установившейся фильтрации имеет как минимум одну точку перегиба. Действительно в точке С кривая свободной поверхности линия тока ортогональна линии СД эквипотенциали. Если перегиба нет, то вся кривая свободной поверхности должна лежать под прямой CN, что очевидно невозможно, так как вода накапливаясь в теле плотины должна иметь выход в дренаж. Следовательно, точка перегиба имеет место.

Примечание. Конечно, эти рассуждения верны в случае распластанного профиля плотины, т.е. в земляных плотинах. В узких ядрах высоких каменноземляных плотин (гл. 12, табл. 12.1) перегиб не будет иметь место (рис. 12.12), так как в случае узкого ядра перпендикуляр выйдет за пределы основания плотины н кривая депрессии расположится ниже перпендикуляра CN, т.к. вода будет иметь выход в дренаж.

Аналоговый метод решения задач построен на аналогии между распространением электрического тока и движением воды. Движение электрического тока подчиняется уравнению

Рис. 3.7. Точка перегиба В на кривой свободной поверхности: а точка перегиба В на кривой свободной поверхности в случае распластанного профиля плотины. Кривая свободной поверхности должна иметь точку перегиба; 6 отсутствие перегиба на кривой депрессии перпендикуляр к откосу вышел за пределы основания мало водопроницаемого ядра плотины

Уравнение (3.24) в случае а(дг, )=const является также уравнением Лапласа. Следовательно, установившееся движение жидкости в порах грунта в случае выполнения закона Дарси и граничных условий можно изучать по движению электрического тока в проводнике, аналогичном области фильтрации.

В XIX в. физики Фарадей, Гельмгольц, Максвелл интерпретировали электрический ток как движение некоторой идеальной жидкости. Вообще это была общепринятая аналогия. Максвелл (1873 г.) развил эту аналогию, получившую название электрогидро динамической (ЭГДА). Н.Е. Жуковский впервые предложил использовать ЭГДА в гидромеханике.

В 1922 г. Н.Н. Павловский [139] разработал конструкцию прибора ЭГДА и развил этот метод. По учебнику акад. И. Седова «Механика сплошной среды» легко проследить, как многие весьма отдаленные физические явления подчиняются одним и тем же математическим законам. Еще раньше об этих аналогиях писал акад. А.Н. Крылов, отмечая аналогию между движением небесных светил и качкой корабля при волнении и т. д. Условия подобия аналоговых явлений движения жидкости и электрического тока даны в табл. 3.4.

В этой аналогии линиям равного электрического потенциала соответствуют линии равного напора натуры, а линиям тока линии тока жидкости. При этом должны выполняться следующие требования:

На рис. 3.8, а показана электрическая схема прибора для решения задач. Дтя повышения точности построения гидродинамической сетки используется мостик Уитстона. Область фильтрации формируется из электропроводной бумаги. Если область фильтрации неоднородна, то она склеивается из бумаги различной электропроводности. Клей должен быть электропроводным. Существуют и иные приборы для аналоговых решений фильтрационных задач, кото

При решении задач безнапорной фильтрации неизвестно положение верхней свободной границы поверхности депрессии, поэтому решение носит итерационный характер: произвольно заведомо выше действительного задается положение поверхности депрессии. Вдоль линии высачивания задается линейное распределение потенциала с помощью падающей шины (см. рис. 3.8, б), так как высачивающиеся на откос частицы воды имеют потенциал, равный высоте высачивания над уровнем НБ. Находится положение эквипотенциалей. Положение эк випотенциалей на депрессионной поверхности должно точно соответствовать потенциалу относительно нижнего бьефа. Если соответствия нет, то положение депрессионной поверхности понижается обрезом модели по полученному результату. И задача решается заново. Решение повторяют несколько раз, добиваясь полного соответствия потенциалов на депрессионной поверхности и эквипотенциалей. В качестве падающей шины может использоваться металлическая шина заводского изготовления или может приклеиваться вдоль линии высачивания высокоэлектропроводная бумага с подводом электрического потенциала (рис. 3.8, б) в характерные точки (100%, 50% и т.д.) относительно некоторые имеют меньшее распространение для решения фильтрационных задач в гидротехническом строительстве.

Графический метод построения гидродинамической сетки основан на ортогональности эквипотенциалей и линий тока. В однородной изотропной среде это семейство взаимно ортогональных линий образует криволинейные квадраты. Криволинейный прямоугольник можно считать квадратом, если длины его средних линий оказываются равными. В расчетной области всегда известно положение двух линий тока контура основания гидротехнического сооруже

ния и границы водоупора, а также двух линий равного напора границы верхнего и нижнего бьефов. Строить сетку начинают с первого у ВБ ряда криволинейных квадратов. Последний ряд клеток в зоне контакта фильтрационного потока с водоупором обычно состоит не из квадратов, а из прямоугольников. После первого цикла построения сетки обычно проводят уточнения, более тщательно выполняя условия ортогональности линий.

При неоднородной, но изотропной области фильтрации переход из одной области в другую сопровождается изломом на границе подобластей линий, образующих сетку, и появлением вместо криволинейных квадратов криволинейных прямоугольников (рис. 3.9).

На рис. 3.9, б показана схема к определению величины излома линии тока на границе подобластей с различными коэффициентами фильтрации к1 и к2. Вектор скорости касателен в любой точке к линии тока. Пусть угол наклона вектора скорости к нормали на границе SS сред а2. Разложим вектор скорости на границе подобластей на нормальную и касательную составляющие. Из условия равенства расхода на границе s получим равенство нормальных составляющих скоростей. На границе равны и напоры Н=Н2. Введем напорные функции Из равенства напоров получим

Это условие позволяет графически строить гидродинамические сетки методом «проб и ошибок» даже в неоднородных областях. При наличии расчетной области с анизотропными свойствами можно воспользоваться приемами, изложенными выше [см. уравнения (3.20){3.22)].

При решении задач безнапорной фильтрации поверхность депрессии строят, используя гидравлический метод (см. ниже), и уже затем строят гидродинамическую сетку.

К приближенным методам относятся метод фрагментов, метод коэффициентов сопротивления (который хотя и основан на методе фрагментов, является гидравлическим), метод удлиненной контурной линии и др.

Гидромеханические решения для различных фрагментов можно найти в работе Н.Н. Павловского [40]. В настоящее время этот метод используется сравнительно редко.

Метод коэффициентов сопротивления является несколько упрощенным методом фрагментов. Его разработал С.Н. Нумеров. Этот метод удобен для приближенных инженерных оценок.

Согласно этому методу принятый подземный контур расчленяется на вертикальные и горизонтальные элементы. Вертикальные элементы:

Горизонтальные элементы между точками 3, 4; 6, 7 (их может быть несколько), для них коэффициенты сопротивления

Потери напора при обтекании потоком каждого элемента определяют по формуле

Формулы для коэффициентов сопротивления выведены, как уже отмечалось, на основе гидромеханических решений. Они не зависят от направления фильтрации и проницаемости грунтов.

При расчетах незаглубленных распластанных контуров на предварительной стадии проектирования для плотин всех классов можно пользоваться методом удлиненной контурной линии. Параметры фильтрационного потока в этом методе определяют с помощью схемы (рис. 3.12). Плоскость сравнения АБ проводят на отметке минимального уровня воды в нижнем бьефе. На прямой откладывают элементы подземного контура 1—9 применительно к рис. 3.11. От точек / и 9 соответственно влево и вправо откладывают горизонтальные отрезки, равные ко и получают удлиненную контурную линию АБ. Используя отрезки ко, учитывают дополнительные сопротивления потоку на входе и выходе

При безнапорной фильтрации гидравлический метод также сводится к выделению фрагментов и решению задачи для каждого из фрагментов с использованием уравнений (3.29) и (3.30). Рассмотрим однородную плотину на водонепроницаемом основании (рис. 3.13). На рис. 3.13, а показаны уровни верхнего и нижнего бьефов, положение депрессионной поверхности и капиллярные подъемы воды. На рис. 3.13, б показана расчетная схема и выделены фрагменты.

Фрагмент III представлен на рис. 3.13, в. Ось z направлена вниз. Разобьем его на два участка: верхний выше уровня НБ и нижний ниже уровня НБ. Граница между II и Ш фрагментами принята вертикальной, а линии тока, согласно А. Казагранде, горизонтальными. Тогда

У уреза воды положение поверхности депрессии в части образования точки перегиба исправляется вручную.

В случае использования уравнения (3.58) получаем два уравнения с двумя неизвестными. Результаты решения более сложных задач безнапорной фильтрации гидравлическим методом приведены в гл. 12.

Обходная или плановая фильтрация. На рис. 3.4,6 показаны линии тока и эквипотенциали фильтрационного потока, идущего в теле грунтовой плотины, примыкающей к бетонной плотине. В общем случае движение фильтрационного потока носит пространственный характер, но решения пространственных задач в аналитическом виде встречают существенные трудности, а в недалеком прошлом были практически невозможны. В целях упрощения решение пространственной задачи стремились свести к решению плановой задачи. Вывод соответствующих уравнений сделал Форхгеймер. На рис. 3.14 показана де прессионная поверхность, вернее, след этой поверхности на вертикальной плоскости (х, z). Плоскость водоупора плоскость (х, у). Пусть Н ордината свободной поверхности. Предположим, что скорость по вертикали z не меняется, т. е. заменим скорость фильтрации в точках, расположенных по одной вертикали, средней скоростью.

Пусть у, и vy проекции этой средней скорости соответственно на оси х и у. Уравнение неразрывности будет иметь вид:

Используя закон Дарси, при движении по линии тока имеем v = kJ. Тогда выразим соответственно градиент напора вдоль осей х и у и, принимая во внимание, что в случае изотропной областиполучим

Фильтрация под бетонными плотинами на скальном основании. Скальные породы обладают малой влагоемкостью и пористостью 0,50,8% в изверженных породах и 48,5% в осадочных (песчаники, известняки). Размер пор их так мал, что коэффициент фильтрации составляет обычно см/с. Для сильнотрещиноватых породс, что имеет место в верхних слоях скалы.

Фильтрация в скальных породах не следует закону Дарси, так как происходит в основном по трещинам. Размеры трещин могут измеряться долями миллиметров и метрами. Они образуются в результате различных тектонических процессов и дислокаций (сбросы, сдвиги, изгибы слоев), выветривания, вскрытия породы выемками с применением взрывных работ и тому подобных искусственных воздействий. Трещины могут быть заполнены мелкими продуктами разрушения породы и обладать малой водопроницаемостью, но могут быть и открытыми, без заполнения; в районах вечной мерзлоты трещины заполнены льдом или смерзшимся грунтом. Скальные породы в зависимости от их происхождения пронизаны трещинами на различную глубину.

Теория потенциального движения грунтовых вод к скальным породам не применима. Лишь при рассмотрении большого массива равномерно трещиноватой с частыми мелкими трещинами породы можно условно говорить о некоторой аналогии.

Двигаясь по трещинам с некоторыми скоростями, фильтрационный поток теряет напор. Закон падения напора здесь неизвестен, но обычно принимается в виде прямой для случая плоской подошвы плотины.

Фильтрационный поток оказывает противодавление на плотину снизу вверх, как бы облегчая её уменьшая устойчивость на сдвиг. При этом он может вымывать породы, входя во взаимодействие с солями (химическая суффозия), и вымывать заполнитель трещин (механическая суффозия). Породы могут изменять свои прочностные качества при намокании.

Определение фильтрационного противодавления. Фильтрация происходит по порам, трещинам и фильтрационное противодавление, передаваемое на сооружение, логично считать действующим не по всей площади подошвы, а по площади этих трещин и пор. Если коэффициент площади передачи давления обозначить через ct2, то объемная сила взвешивания фильтрационного потока будет передаваться на площадь подошвы сооружения а2 Ь, где b площадь 1 м сооружения. Значение коэффициента а2 связано с конкретной скальной породой и размерами трещин. Его определению посвящена большая литература. По данным М.М. Гришина по экспериментальным данным значения 02 могут быть намного меньше.

Для снятия фильтрационного противодавления устраивают противофильтра цнонные завесы , аналогичные шпунтовым завесам, и вертикальный дренаж, располагаемый за завесой и снимающий оставшийся непогашенным завесой напор. В зависимости от материала, из которого они выполняются, завесы бывают цементационными (сокращенно цемзавесы), битумными, глинистоцементными и др. Устраивают их в верховой части подошвы плотины (рис. 3.15).

Эпюра W2 строится в зависимости от напора и наличия завес и дренажа. За цементационной завесой удельная объемная сила фильтрационного взвешивания падает до величины, где он коэффициент уменьшения напора, равный 0,3-0,6 в зависимости от глубины завесы, соотношения водопроницаемости завесы и породы основания. Проницаемость завесы должна быть как минимум в 710 раз меньше проницаемости скалы. Расположение за завесой дренажа особенно эффективно, поскольку приводит к снижению коэффициента 0,1-0,3. Значения ai в зависимости от типа и класса плотин даны в табл. 3.5.

Изучению объемных сил фильтрационного взвешивания (сложному и далеко не выясненному явлению) мировая практика уделяет большое внимание, и во всех нормах проектирования плотин приводятся те или иные рекомендации по его учету. По нормам рекомендуется определять фильтрационное давление на подошву плотины с дренажом и без дренажа в соответствии с табл. 3.5 и рис. 3.15.

Наличие трещин в основании требует решения задач только пространственной фильтрации, которые возможны лишь численными методами.

В последнее время Н.А. Анискин разработал метод рассмотрения совместного движения фильтрационного потока, как по грунту, так и по трещинам я окаймляющим трещины зонам скалы с повышенной проницаемостью. Ранее этим вопросом занимался А.Г. Бабаян.

Численные методы решения фильтрационных задач используются с конца 70-х годов. При строительстве гидротехнических сооружений их применяют достаточно часто, так как иными методами решение пространственных задач практически невозможно.

Наибольшее распространение получил метод конечных элементов (МКЭ), построенный на использовании вариационных принципов.

Вариационные принципы основаны на поиске экстремума функции или функционалов1. Для решения задачи на основе вариационного принципа необходимо подобрать такой функционал, минимум которого соответствовал бы решению основного уравнения установившейся фильтрации (3.18) или в частном случае уравнения Лапласа (3.19).

Подбором установлено, что функционал, минимум которого соответствует решению общего уравнения установившейся фильтрации (3.18), имеет вид:

Сложив эти выражения, согласно уравнению (3.63) получим общее уравнение установившейся фильтрации, т. е. функционал удовлетворяет уравнению Эйлера (3.63). Таким образом, для решения задачи фильтрации необходимо минимизировать функционал (3.65). Минимизация может быть осуществлена в частности и МКЭ (методом конечных элементов).

Искомый функционал (3.65) может быть расширен на случай решения задач неустановившейся фильтрации, учету инфильтрации на поверхности расчетной области (к примеру, дожди) и движение воды по трещинам:

Эти идеи были заложены к.т.н. Н.А. Анискиным в вычислительный алгоритм программы «Фильтрация». В результате была решена пространственная задача движения воды в трещиноватом скальном основании (рис. 3.16 на цветной вкладке). На фрагменте показана эквипотенциаль, пересекающая трещину.

Необходимо отметить, что практически всегда решения пространственной задачи существенно отличаются от решений плоских задач: повышаются расходы н градиенты. Часто весьма существенно.

Суффозия пород основания. Наиболее существенную роль в скальных основаниях может играть химическая суффозия, проявляющаяся в тех случаях, когда в составе породы имеются легко выщелачиваемые вещества: гипс, ангидрит, каменная соль. Для предотвращения суффозии используют обычно четыре метода:

Из-за химической суффозии разрушились плотины Остин в Техасе, Бирс около Базеля и др.

При наличии в трещинах основания мелкозернистого заполнителя для предотвращения его выноса (механическая суффозия) дренаж оборудуют специальными фильтрами. Можно также предотвращать вынос мелкозернистого заполнителя снижением градиента напора в трещинах до допустимых значений.

Гидротехнические сооружения. Часть 1. Учебник для вузов. - Москва: Издательство Ассоциации строительных вузов, 2008. - 576 с.