Методы многокритериальной оптимизации

До сих пор, говоря о неполноте информации, имели в виду в основном исходные данные, необходимые для решения задали оптимизации СЦТ и ее элементов. В действительности понятие информации значительно шире, оно включает характеристику уровня наших знаний о целях и критериях оптимизации СЦТ. В гл. 2 при рассмотрении основ системных исследований в числе важнейших свойств систем энергетики было названо свойство многокритериальности. В данном разделе в сжатом виде рассматриваются понятия цепей при управлении СЦТ, а также подходы к выбору критериев принятия решений о развитии этих систем [9,20, 21,27].

Понятие цели можно определить как предвосхищение в сознании человека (трудового коллектива), управляющего данной системой, результата, на достижение которого им направляется развитие (функционирование) данной системы. Как показано в гл. 2, для систем энергетики характерно иерархическое строение. Задачи, решаемые при развитии этих систем, и цепи их развития также имеют иерархическое строение. Поэтому в дополнение к иерархии систем энергетики, иерархии решаемых задач, иерархии математических моделей нужно иметь согласованную иерархию цепей развития систем.

Из желания иметь четко сформулированную цепь развития системы, большей ее конкретизации вытекает стремление к количественной оценке цели. Однако это не всегда выполнимо. Во многих случаях количественная оценка цепи сопровождается рядом качественных ограничений. Ряд же обобщенных выражений цели, таких, как ускорение научно-технического прогресса в системах теплоснабжения, едва ли можно четко количественно соизмерить или задавать в виде однозначно количественно выраженной цели. Таким образом, при управлении развитием СЦТ во многих реальных случаях количественное задание цели — дело далеко не простое, а главное, не формализуемое.

На самом верхнем государственном уровне формируются социально- экономические цели народнохозяйственного развития, которые, как правило, не могут быть выражены неким однозначным числом. Но обычно существует главная цель развития; для социалистических стран — это постоянное повышение благосостояния и духовного уровня народа и ряд других целей, не противоречащих главной цели, которые необходимо обеспечить для ее реализации. Все эти цели конкретизируются на следующем иерархическом уровне в виде государственных планов развития народного хозяйства, предусматривающих и выбор основных народнохозяйственных пропорций. Тогда на следующем, более низком иерархическом уровне возникает серия оптимизационных задач, требующих наилучшего решения с точки зрения народного хозяйства. Применительно к энергетике главная цель таких задач — найти в пределах энергетики наиболее эффективные методы производства, распределения и использования различных видов энергии и энергетических ресурсов для надежного и высококачественного обеспечения заданных (в определенных диапазонах) потребностей народного хозяйства в конечных видах энергии с учетом ряда ограничений, например экологических.

Подобная ограничительная постановка цели оптимизационных задач, а поэтому и выбора критериев принятия решений для достижения такой цели характерна для социалистического хозяйства, где подобные расчеты имеют решающее значение на относительно низких иерархических уровнях управления.

В качестве основного критерия оптимизации функционирования и развития СЦТ следует принимать бесперебойное обеспечение заданных потребителей тепловой энергией с наименьшими затратами живого и овеществленного труда. Мерой таких затрат приняты денежные единицы. Поэтому основным критерием для массовых задач оптимизации СЦТ и их элементов можно считать минимум приведенных затрат, т.е. затрат, соизмеряющих с учетом фактора времени единовременные (капиталовложения) и ежегодные расходы.

В то же время существует ряд задач, для которых далеко не всегда применим критерий минимума приведенных затрат. В их числе, например, задача энергетического обеспечения бытовых нужд населения, где, с одной стороны, самое примитивное решение может бьпь и самым дешевым, а с другой стороны — за лучшие комфортные условия потребитель часто согласен платить больше. Второй пример — оздоровление биосферы, где необходимость дополнительных денежных затрат определяется требованием соблюдения санитарных норм, которые выступают как обязательные ограничения. Однако и в этих задачах часто важно найти решение по достижению таких норм, наиболее приемлемых и в техническом, и в экономическом отношении.

Приведенные соображения строго справедливы для задач в детерминированной постановке. При учете неопределенности используемой информации вопрос о выборе критерия принятия решения значительно усложняется. В этом случае наряду с экономическим следует применять и другие критерии выбора оптимальных решений. Главная причина, почему при выборе оптимальных решений по СЦТ критерий минимума приведенных затрат не может быть единственным, заключается в существенной экономической стабильности решений. Иными словами, часто существенно технически разные перспективные структуры систем оказываются малоразличимыми по требуемой величине денежных затрат. В разд. 10.2 и 10.3 показано, что итогом оптимизации СЦТ и ИТ являются равноэкономичные варианты, рассматриваемые как неразличимые по приведенным затратам. Именно поэтому следует вводить дополнительно совокупность других критериев.

В качестве других (неэкономических) критериев могут выступать: технологические — надежность теплоснабжения, управляемость системы и т.п.; социальные — уровень удобств для населения, условия работы обслуживающего персонала и др.; экологические — степень загрязнения ат- , мосферы, земли и водных бассейнов; безопасность для жизни и здоровья людей и некоторые другие.

Для различных задач состав этих критериев может различаться, причем в зависимости от своей значимости отдельные критерии могут выступать при решении задачи либо как критерии оптимальности (наряду с приведенными затратами), либо как ограничения, либо просто как показатели, до по лнител ьно принимаемые во внимание. Неэкономические критерии очень часто находятся в противоречии с экономическими — обеспечение допустимых уровней неэкономических критериев требует дополнительных экономических затрат. В общем случае при оптимизации СЦТ и их элементов по нескольким критериям могут быть найдены варианты лучшие по одним критериям, но худшие по другим критериям, что приводит к появлению несравнимых вариантов. Специфика задач многокритериальной оптимизации состоит в умении выделять лучшие из множества вариантов несравнимых решений.

К настоящему времени предложен ряд подходов к решению оптимизационных задач в многокритериальной постановке [90, 92, 93]. Имеются различные принципы их классификации. Примем весьма конструктивную классификацию, основанную на учете характера имеющейся информации о соотношениях между критериями оценки решения. Предполагается, что число несравнимых вариантов оптимальных решений в существенной степени зависит от того, какой принцип оптимальности использован при решении задач многокритериальной оптимизации. Применение же того или иного принципа оптимальности прежде всего определяется характером имеющейся информации о соотношениях между критериями оценки решений.

Случай полного отсутствия информации о важности критериев приводит к использованию принципа оптимальности Парето и выделению множества Парето. Но поскольку число паре то-оптимальных вариантов может оказаться значительным, то для их сокращения требуется перейти к следующему этапу, суть которого, несмотря на различия в способах реализации, сводится к получению дополнительной информации о связях между критериями и их оценками. При достаточном количестве информации можно установить связи между всеми критериями н свернуть их в один обобщенный критерий. В этом случае многокритериальная задача сводится к однокритериальной.

Промежуточные принципы оптимальности (между Парето и единым обобщенным критерием) соответствуют случаям, использующим дополнительную по сравнению с принципом Парето информацию о связях между критериями, но в меньшем объеме, чем требуется для построения одного обобщенного критерия. За счет этой дополнительной информации сужается множество несравнимых оптимальных решений. Получение дополнительной информации о связях между критериями обычно является сложной, дорогостоящей и трудноформализуемой задачей. При этом далеко не всегда бывает ясно, насколько наличие той или иной дополнительной информации сократит число несравнимых оптимальных вариантов.

Наибольшее распространение среди промежуточных принципов оптимальности, основанных на использовании дополнительной информации, получили подходы для следующих случаев: с равноценными однородными критериями, с упорядоченными по .важности критериями, с доминирующим критерием. Доказательство наличия одного из этих случаев позволяет сократить число несравнимых оптимальных вариантов, но не исключает их полностью.

В соответствии с изложенной классификацией подходов к решению многокритериальных задач рассмотрим некоторые из них, нашедшие практическое применение.

Классической моделью многокритериальной оптимизации является оптимизация по Парето. В ее основе лежат предположения: один вариант лучше другого, если по всем критериям он не хуже, а (хотя бы по одному) лучше, и оптимальным считается тот вариант, для которого не существует ’ более предпочтительного. Нахождение множества Парето позволяет сократить множество исходных вариантов, т.е. исключить из неформального анализа те варианты решений, которые заведомо будут плохими.

Проиллюстрируем прием выделения множества решений по Парето на примере задачи с двумя критериями: Н — показатель надежности СЦТ

Очевидно, что из всего множества решений X (в данном примере п = 10) эффективными будут только решения Xlt Хп, Х8, лежащие на левой верхней границе области возможных решений. На рис. 10.3 эта граница изображена пунктирной линией. Для всякого другого решения существует хотя бы одно более эффективное решение, для которого либо Н, либо 3, либо Н и 3 лучше, чем для данного. Аналогично строится множество эффективных решений и в случае, когда критериев эффективности не два, а больше.

Как видно, оптимизация по Парето не выделяет единственного решения, она только сужает зону неопределенности решений. Окончательный выбор остается за лицом, принимающим решение. Но исследователь, построив множество Парето, конечно, облегчает процедуру выбора решения, поиска компромисса. Изучение множества Парето дает большую информацию для отыскания такого компромисса. Лицо, принимающее решение, видит, в частности, сколько стоит увеличение одного из критериев, как оно сказывается на остальных показателях, значения которых непременно ухудшаются.

Весьма часто применяют метод последовательных уступок. Он применим в случае неравнозначности критериев. Пусть все критерии расположены в порядке убывания их важности: Ft > F2 > . . . > Fm. Для простоты будем считать, что все они должны иметь максимальное значение. Сначала ищется решение, обращающее в максимум первый (важнейший) показатель Fi = F{ax. Затем назначается, исходя из практических соображений, некоторая уступка ДFx, которую мы согласны сделать для того, чтобы максимизировать второй критерий Р2. Наложим на критерий Fj ограничение F% > (Fjax - Д-Fi) и при этом ограничении ищем решение, обращающее в максимум F2. Далее снова назначаем уступку в F2, ценой которой можно максимизировать F3, и тд. аКрй способ построения компромиссного решения хорош тем, что здесь сразу видно, ценой какой уступки в одном критерии приобретается выигрыш в другом и какова величина этого выигрыша.

В тех случаях, когда удается выделить один (главный) критерий Flt задачу с несколькими критериями можно свести к задаче с одним-един- ственным критерием. На все остальные критерии F2, F3, . . . накладываются ограничения вида F2>a2, F3 >а3,..., где а2, а3,. .. — заданные величины. Тем самым многокритериальная задача сводится к обычной однокритериальной задаче поиска экстремума функции Ft при наличии ограничений. Результаты решения, очевидно, будут зависеть от того, как выбраны ограничения H&F2, F3,...

Нашел применение способ решения многокритериальных задач, основанный на формировании обобщенного критерия эффективности. Такой критерий представляет собой взвешенную сумму частных критериев, в которую каждый из Ft входит с каким-то весом с{, отражающим его важность:

Предполагается, что коэффициенты с( есть результат экспертизы; они должны отражать наши представления о содержании компромисса, который мы вынуждены принять. Трудность определения коэффициентов ct — основной недостаток этого метода.

В [9] приведены следующие негативные замечания о возможности применения экспертных оценок коэффициента с,- в выражении (10.20): 1) опасность выбора предрешенного решения, которое (быть может, подсознательно) хотят получить авторы расчета; 2) неизбежный субъективизм решения ввиду практической невозможности найти относительно большое число действительно объективных экспертов и, что важно, равной квалификации; 3) практическая неизбежность изменения долей веса критериев ct для различных оптимизационных задач, а поэтому необходимость для каждой отдельной задачи осуществления сложных процедур экспертных оценок.

Существует значительное количество модификаций изложенных подходов к решению задачи многокритериальной оптимизации. Их рассмотрение не дает чего-либо принципиально нового. Важно, что при любом способе постановки задачи оптимизации системы по нескольким критериям она остается не до конца формализованной и обоснованность выбора соответствующего подхода остается в значительной степени на совести исследователя, хотя при этом и учитываются определенные свойства задачи. Поэтому окончательный выбор решения по развитию системы остается за человеком. Главная цель многокритериальной оптимизации системы — предоставить в распоряжение лица, принимающего решения, данные, наиболее полно характеризующие преимущества и недостатки каждого варианта решения.

В условиях многокритериальности очень полезным является диалоговый режим выработки можно представить как итеративный процесс взаимодействия исследователя (проектировщика) и ЭВМ. Каждая итерация состоит из двух фаз: анализа (принятия решения), выполняемого исследователем, и оптимизации, осуществляемой ЭВМ. Для повышения эффективности диалога разработаны специальные процедуры общения человека и ЭВМ. Такие процедуры помогают исследователю и особенно проектировщику понять особенности задачи и осознать необходимость компромисса между значениями, достигаемыми по различным критериям. От итерации к итерации исследователь (проектировщик) ищет лучшее решение и одновременно изучает объективные характеристики задачи, взаимное влияние критериев. Вместе с тем результаты психологических исследований показывают существенные ограничения возможностей человека по переработке сложной многофакторной информации. Поэтому построение диалоговых процедур должно базироваться на разбиении процесса получения информации от человека на простые этапы, включающие элементарные операции по переработке информации, при выполнении которых исключается возможность допущения человеком крупных ошибок.

Учитывая, что для задач оптимизации СЦТ и ее элементов в подавляющем большинстве случаев можно в качестве основного критерия принимать экономический критерий, рекомендуются два достаточно близких метода принятия решений в условиях многокритериальности. В обоих методах исходят из стремления свести к минимуму применение экспертных оценок. Далее принимается предпосылка, что в условиях неполноты исходной информации формализованными методами, как правило, нельзя найти один наилучший вариант решения, а можно выявить лишь несколько (зону) экономически равноценных вариантов. Другие неэкономические критерии предполагается учитывать при выборе среди полученных равноэкономичных вариантов того единственного, который будет приниматься для исполнения [9, 27].

Первый метод [27] предлагает последовательное применение неэкономических критериев, начиная с наиболее важного. Для этого они должны быть проранжированы по своей важности (значимости). Процедуру выбора наилучшего варианта можно представить как повторяющуюся: сначала выявляется множество экономически равноценных вариантов; затем из этого множества отбирается множество наипучших (равноценных) вариантов по наиболее важному неэкономическому критерию; затем среди этого множества выбираются варианты, равноценные по следующему неэкономическому критерию, и т.д. Как правило, после применения одно- го-двух неэкономических критериев будет получен один вариант, наилучший по последнему критерию и равноценный по предыдущим критериям (включая экономический). Если же после учета всех неэкономических критериев останется несколько равноэкономичных вариантов, то последние должны быть переданы (вместе со всеми результатами оценок) лицам, принимающим решения, которые будут делать выбор интуитивным (эвристическим) путем.

В [9] в качестве наиболее приемлемого для принятия решений в условиях многокритериальности назван метод последовательных уступок, основная идея которого уже изложена в этом разделе. При AFi = АРг = =... - AFm = 0 он совпадает с первым методом.

Формально первый метод позволяет найти самое наилучшее решение по многим критериям. Однако этот метод предполагает возможность ранжирования критериев, т.е. задания (определения) преимуществ каждого предшествующего критерия перед последующим. В условиях неполноты информации, трудностей соизмерения значимости критериев и неизбежности экспертного их ранжирования чрезмерный формализм первого метода лишает его гибкости. Метод последовательных уступок не имеет этого недостатка.

Исследование систем теплоснабжения/Л.C. Попырин, К.С. Светлов, Г.М. Беляева и др. М.: Наука, 1989.