Общие подходы к построению математических моделей

При разработке, проектировании и создании (развитии) сложных объектов, к которым относятся все системы энергетики на уровне страны, района и узла, а также входящие в них предприятия, необходимы знания о количественных и качественных закономерностях, свойственных рассматриваемым объектам. Осуществить практическую проверку тех или иных закономерностей, закладываемых в проекты, очень часто по ряду соображений не представляется возможным. Так, реализация всех разрабатываемых в настоящее время типов ИТ и их модификаций с целью практической проверки потребовала бы исключительно больших материальных затрат и значительного времени. Еще более сложна и практически неосуществима реализация возможных вариантов создания и развития систем теплоснабжения на уровне узла энергоснабжения, не говоря уже о системах энергетики на уровнях района и страны. В связи с этим приобретает все большее значение изучение свойств и закономерностей рассматриваемых больших и сложных систем на базе метода математического моделирования.

Математическая модель — это система математических соотношений, описывающих с той или иной точностью определенные характеристики реальной системы. В наиболее общем случае модель включает количественные и логические взаимосвязи и соотношения между основными параметрами рассматриваемой системы, технологическими и материальными характеристиками ее элементов, характеристиками внешних технологических и экономических связей, системой ограничений и соответствующим критерием эффективности. Форма и структура представления системы зависят от природы происходящих в ней процессов и внешних факторов, от характера количественных взаимосвязей между параметрами и характеристиками, а также от того, какие стороны процесса и факторы выдвигаются на первый план применительно к конкретной цели, средствам и методам исследования.

Математические модели могут быть полными, неполными (частичными) относительно моделируемого объекта или отражать его отдельные свойства — функциональные модели. Применительно к рассматриваемым системам энергетики математические модели являются неполными и в значительной мере функциональными в том смысле, что они не могут полностью отразить все свойства, элементы и связи изучаемых больших и сложных систем. Происходит это потому, что в своем развитии они слишком сложны для описания, не могут быть точно и одновременно количественно охарактеризованы, а также включают (и в управляемую, и в управляющую части) во многом не формализуемые действия трудовых коллективов.

В связи с этим становится все более очевидным, что эффективная система разработки и проектирования сложных энергетических объектов должна быть человеко-машинной при оптимальном сочетании формализованных и неформализованных методов. При этом за человеком на всех иерархических уровнях! остается решающая активная роль, выражающаяся как в формулировке щелей и постановке задач, так и в оценке возможных решений и выборе\ среди них окончательного решения. Математические модели, являясь современным научным инструментом, позволяют: а) осуществлять быструю многовариантную переработку значительных массивов информации; б) находить из большого числа возможных решений относительно ограниченное количество наилучших решений; в) быстро определять наиболее целесообразные корректирующие воздействия на развитие системы, необходимые в процессе реализации оптимальных решений, а также выполнять ряд других важных функций.

Моделирование систем энергетики и входящих в них энергетических предприятий состоит из ряда взаимосвязанных этапов: постановка задачи моделирования, составление математического описания, алгоритмизация математического описания, проверка адекватности модели (рис. 3.1). Каждый из этапов достаточно сложен и трудоемок. Выполнение отдельных этапов может осуществляться различными группами специалистов, но должно обязательно подчиняться единой цели, поставленной при формировании общей задачи.

Как указывалось ранее, та или иная совокупность математически выраженных соотношений может считаться математической моделью системы только при условии, что эти соотношения отражают основные связи и свойства системы. Выполнение этого условия требует глубоких знаний моделируемой системы и умения формализовать эти знания, программируя их на том или ином математическом языке. В настоящее время такая формализация в значительной мере является еще научным творчеством разработчиков моделей.

Далее, математическая модель может отвечать своему назначению, если она не только достаточно точно описывает свойства и связи данной системы энергетики, но и доступна по своей сложности для реализации на серийных ЭВМ. Это требует глубокого знания особенностей и областей применения различных методов математического программирования и вычислительных возможностей ЭВМ. Часто поэтому необходимо уметь квалифицированно упрощать модель без особого ущерба для точности результата, чтобы свести ее к решаемой задаче математического программирования.

Таким образом, разработка математических моделей систем энергетики и входящих в них крупных предприятий (ОТЭЦ, АТЭЦ, ACT) представляет собой сложный творческий процесс, требующий совместных усилий высококвалифицированных энергетиков и математиков. В ходе этого процесса постоянно углубляются наши познания свойств систем и их основных связей, а это, в свою очередь, позволяет применять более совершенные математические модели [9].

Проверка адекватности реальной моделируемой системы и ее математической модели очень трудна и в теоретическом и в практическом плане. Можно лишь утверждать, что математическая модель рассматриваемой системы энергетики всегда есть только приближенное отражение реальной системы. Кроме указанной выше невозможности (по определению) иметь полное во всех отношениях соответствие объекта и его модели, причиной этого является отсутствие полномасштабной экспериментальной проверки точности многих математических моделей, особенно развивающихся больших систем энергетики. Поэтому в настоящее время оценка уровня тождественности реальной системы энергетики и математической модели — это предмет интуитивной оценки специалистов. Некоторые общие подходы включают: оценку осмысленности результатов работы модели, проверку преобразований информации от входа к выходу по всем блокам модели, проверку логики управления вычислительным процессом, сопоставление чувствительности реальной системы и модели к изменению некоторых параметров и факторов, если для реальной системы имеется такая информация, и др. Если результаты проверки неудовлетворительны, то необходимо уточнить постановку задачи исследования, усовершенствовать модель, проверить программу.

В настоящее время Стала очевидной необходимость перехода от создания математических моделей, разрабатываемых для решения отдельных задач оптимизации,\ к системе математических моделей, отражающих в целом процесс оптимизации в реальных, иерархически построенных системах энергетики Наиболее продуктивным направлением создания математических моделей систем энергетики является использование принципа декомпозиции. Его сущность заключается в разделении по слабым (или по сильным, но малочисленным) связям иерархии реальных систем на подсистемы, а следовательно, и задач оптимизации этих систем на отдельные подзадачи. Применительно к таким подзадачам строятся соответствующие математические модели.

Для увязки решений в иерархически построенных системах математических моделей и задач создан ряд методов, например: 1) метод корректирующего импульса развития нижестоящих иерархических систем для приведения в соответствие их локальных оптимумов глобальному оптимуму вышестоящей системы; 2) итеративный метод решения в ниже- и вышестоящих системах для приведения в соответствие локальных и глобальных оптимумов; 3) метод иерархической увязки последовательности уточнения решений путем использования комплекса разнотипных моделей.

Очевидно, что система моделей, построенная для исследования систем энергетики, будет содержать модели различных типов. Очень условно все многообразие типов математических моделей, применяемых для исследования систем энергетики, может быть разделено следующим образом: по цели и характеру использования — на оптимизационные, расчетные, игровые, имитационные;

по учету фактора времени — на статические и динамические; по характеру зависимостей — на линейные и нелинейные; по степени определенности информации — на детерминированные и вероятностные (стохастические).

Рассмотрим особенности и области применения этих моделей [9]. Оптимизационные модели широко применяются на этапах прогнозирования, планирования, проектирования и функционирования систем энергетики. Оптимизация обычно формулируется как нахождение решения, в наибольшей мере отвечающего достижению поставленной цели и удовлетворению внешним условиям. Особенность оптимизационных моделей заключается в том, что сама модель выбирает из большого числа возможных оптимальное решение при заданных исходных данных и ограничениях. Расчетные (оценочные) модели являются модификацией оптимизационных моделей и отличаются от них целью расчета. В расчетной модели исследуется какой-то один из основных вариантов оптимизационной задачи, для которого решение находится в виде оценки данного варианта (естественно, с оптимизацией входящих в данный вариант промежуточных параметров). В силу ограниченности решаемой задачи расчетные модели удается сделать более подробными, чем оптимизационные. Игровые модели предназначены для решения задач в некоторых специфических неопределенных ситуациях, характеризуемых противоречивыми интересами сторон, «вето выступающими как конфликтные. Они широко используются для принятия решений в условиях капиталистического общества. Применимость использования игрового подхода для нашего общества не доказана. Имитационные модели имитируют (проигрывают) протекание изучаемого процесса развития или функционирования данной системы. Таким образом, имитационные модели — это способ моделирования ситуаций. Их исходная идея очень перспективна, она заключается в синтезе (объединении) формализуемых и неформализуемых методов мышления и анализа.

В энергетике практически все большие системы характеризуются сильными временными (динамическими) связями, а введенные в эксплуатацию энергетические установки и их агрегаты можно считать не изменяющимися (статическими) или мало изменяющимися во времени. Для учета динамики используются динамические и квазидинамические модели. Динамические модели позволяют рассмотреть процесс или систему в движении, когда учитывается как влияние предыдущего состояния системы на последующее, так и обратное влияние последующих решений о развитии системы на предыдущие. Под квазидинамическими понимаются модели, учитывающие лишь влияние предыдущего состояния на последующее. В ряде задач применение таких квазидинамических моделей существенно упрощает вычислительную процедуру. Несмотря на статический характер математических моделей энергетических установок (неизменность значений оптимизируемых параметров и характеристик), они должны охватывать весь жизненный цикл установки: разработка — создание головного образца — испытания головного образца — освоение серийных установок — период нормальной эксплуатации — вывод из эксплуатации.

Реальные системы энергетики нелинейны. Однако только для некоторых относительно простых типов нелинейных моделей существующие методы обеспечивают быструю сходимость и решение можно получить с требуемой точностью. В общем случае использование нелинейных моделей сопряжено со значительными (иногда непреодолимыми) трудностями. Поэтому, несмотря на вносимый ущерб содержательному смыслу, очень широко идут на использование линейных моделей, для которых имеются хорошо разработанные методы построения и которые гарантируют получение точного (в вычислительном плане) решения. В энергетике имеются достаточно четко очерченные области применения линейных и нелинейных моделей. Область применения линейных моделей — предварительная глобальная оптимизация систем энергетики верхних иерархических уровней на достаточно длительную перспективу, имеющая цепью нахождение зоны равно экономичных решений. Задачи оптимизации локальных систем нижних уровней иерархии и на близкие периоды времени решаются с использованием преимущественно нелинейных моделей.

Большая часть информации, используемой при исследовании систем энергетики, не является детерминированной. И тем не менее исторически сложилось так, что в настоящее время наиболее широко используются детерминированные математические модели. Они исходят из допущения о строгой определенности (однозначности) всей используемой в модели исходной информации, а следовательно, и о строгой определенности получаемых решений. Однако предпосылка об однозначности используемой информации неправомерна. Поэтому круг задач, для решения которых правомерно (допустимо) применение детерминированных моделей, не широк. Многие из разработанных в последние годы методов и приемов оптимизации систем энергетики в условиях неполноты исходной информации базируются на использовании результатов расчета,-полученных для ряда совокупностей детерминированно заданных исходных данных (см. гл. 10). Тем самым определилась вторая область применения детерминированных математических моделей. Вероятностные (стохастические) модели используются для решения задач, в которых есть вероятностное описание процессов. Математический аппарат вероятностного программирования теоретически достаточно разработан. Однако достоверность вероятностных описаний часто может быть поставлена под сомнение, поскольку случайные процессы в системах энергетики, как правило, не стационарны. На это нужно обращать особое внимание на этапе постановки задачи.

При создании совокупности математических моделей, предназначенных для оптимизации систем энергетики, важно определить предпочтительность применяемых математических моделей. К отдельным математическим моделям следует предъявлять такие основные требования: 1) достаточная идентичность свойств математической модели и свойств реальной системы; 2) соизмеримость точности результатов и возможной точности используемой информации; 3) приемлемая скорость решения задачи; 4) широта практического приложения; 5) простота, удобство пользования.

Накопленный опыт использования математических моделей систем энергетики показывает, что на верхних уровнях производственной иерархии целесообразно использовать достаточно упрощенные линейные квазидинамические модели. Глобальный характер моделей требует (для обеспечения работоспособности) существенного укрупнения используемой информации. Здесь важно не осложнять модель системы учетом тех факторов, без которых можно обойтись для решения главной задачи модели. Для систем нижних уровней иерархии и предприятий при построении моделей необходимо учитывать динамику развития, нелинейность зависимостей, дискретность и целочисленность изменения многих параметров. Для решения задач надежности систем энергетики в математической модели должно найти отражение сочетание динамики и стохастики. Примеры построения математических моделей разных видов приведены в гл. 4-9.

Исследование систем теплоснабжения/Л.C. Попырин, К.С. Светлов, Г.М. Беляева и др. М.: Наука, 1989.