Распределение температуры и средняя температура в стационарном состоянии
Как было упомянуто выше, зависимости линейной теплопроводности можно применять для изучения температурных соотношений только с определенным допущением. Предел Bi<0,3 устанавливает наибольшую толщину слоя бетона 7—8 см в направлении окружающей воздушной среды. Если же речь идет о более толстом слое, то следует применять зависимости двухмерной теплопроводности.
Для построения математической модели сделаем ряд предположений:
распространение слоя бетона в направлении так велико, что тепловым потоком, идущим по третьей координате, можно пренебречь;
расстояние между расположенными в бетоне трубами I и длина их очень велики;
коэффициент теплопроводности — постоянная величина, материал имеет гомогенную и изотропную структуру;
система координат расположена так, что ось л: находится в плоскости размещения труб н перпендикулярна их осям, а ось у перпендикулярна упомянутой плоскости. Начало координат находится в центре поперечного сечения какой-либо трубы;
на поверхности трубы избыточная температура постоянна и равна
Шведский ученый Факсен представил решение таким образом, что напротив ряда труб в плоскости имеется совершенно аналогичный ряд труб, поглощающий теплоту из источников (стоки теплоты), воображаемых в первом ряду труб (рис. 7.7). Частное решение описывает такой ряд кривых (для простоты рассмотрим условие я = 0), точки которого находятся на расстоянии от источника. Эти кривые указывают направление теплового потока, а перпендикулярные им кривые — геометрические места равнотемпературных кривых. Распределение температурных кривых и траекторий тока теплоты показано на рис. 7.8.
Частное решение дифференциального уравнения имеет вид:
Стоки и источники теплоты в принципе взаимозаменяемы. Приведенная зависимость в дальнейшем периодически повторяется в направлении х с периодом /, а по отношению к оси у она описывает симметричные кривые. Указанное решение требует таких математических знаний, которые выходят за рамки данной книги. Более подробно можно с ним ознакомиться в работе [99].
Ридберг и Хубер [156] представили расчет распределения температуры в следующем виде:
Таким образом, мы установили связь между очень важной для расчета средней избыточной температурой в плоскости оси трубы при g—о, к и избыточной температурой стенки отопительной трубы
